\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\pagestyle{empty}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
	
\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Сборная команда.
Математический бой.}
\end{center}

{\bf 1.} Над ориентированным деревом с $n$ вершинами можно проделывать следующую операцию: выбрать вершину, из которой все ребра выходят и поменять ориентацию всех этих ребер.
За какое наименьшее количество таких операций  любое дерево с $n$ вершинами можно перевести из любой ориентации в любую другую?

{\bf 2.} Точки $I_1$ и $I_2$ --- центры вписанных окружностей $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ cоответственно, $p_1$ и $p_2$ --- периметры этих треугольников. Докажите неравенство \[{O_1O_2\over A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}< {p_1+p_2\over 2\max (p_1,p_2)}.\]

{\bf 3.} Пусть $A$ --- множество всех бесконечных целочисленных последовательностей, $f: A\to \mathbb{Z}$ такова, что $\forall s,t\in A$ $f(s+t)=f(s)+f(t)$ и $f(u)=0$ для всех последовательностей $u$, в которых все члены, начиная с некоторого, равны $0$
 Докажите, что $f\equiv 0$.

{\bf 4.} Пусть $I$ и $I_a$ --- центры вписанной окружности $\triangle ABC$ и вневписанной окружности $\triangle ABC$, касающейся стороны $BC$.
Прямая $II_a$ пересекает отрезок $BC$ и описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $A'$ и $M$ соответственно.
Точка $N$ --- cередина дуги $MBA$, прямые $NI$ и $NI_a$ пересекают описанную окружность $\triangle ABC$ в точках $S$ и $T$ cоответственно.
Докажите, что точки $S$, $T$ и $A'$ коллинеарны.

{\bf 5.} Последовательность натуральных чисел $\{a_n\}$ такова, что $\forall m,n \in\mathbb{N} \quad (a_m,a_n)=a_{(m,n)}$.
Докажите, что существует последовательность натуральных чисел $\{b_n\}$ такая, что
\[\forall n \in \mathbb{N} \qquad a_n=\prod_{d|n} b_d.\]

{\bf 6.}  Леша расставил на полке в некотором порядке тома $100$ томного собрания сочинений Л.~Н.~Толстого.
Каждое утро Максим приходит, вынимает четыре произвольных тома и ставит их на те же места в любом порядке.
А вечером Леша вынимает три произвольных тома и ставит их на те же места в любом порядке.
Какое наибольшее количество томов Максим заведомо сможет поставить на свои места (после своего хода)?

{\bf 7.} Дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и площадью $K$.
Известно, что $a^2,b^2,c^2,2K \in\mathbb{N}$.
Докажите, что треугольник можно расположить на плоскости так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

{\bf 8.} Известно, что $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$, $\lim\limits_{x\to
0} {f(2x)-f(x)\over x}=0$.
Докажите, что $\lim\limits_{x\to 0} {f(x)\over x}=0$.
\end{document}